Сложность бинарного поиска

1️⃣ Как кратко ответить

Бинарный поиск имеет временную сложность O(log n), где n — количество элементов в отсортированном массиве. Это достигается за счет деления массива пополам на каждой итерации, что позволяет быстро находить искомый элемент.

2️⃣ Подробное объяснение темы

Бинарный поиск — это алгоритм, который используется для поиска элемента в отсортированном массиве. Он значительно эффективнее линейного поиска, который имеет временную сложность O(n), особенно для больших массивов.

Как работает бинарный поиск

Представьте, что у вас есть отсортированный список чисел, и вы хотите найти определенное число. Вместо того чтобы проверять каждый элемент по порядку, как в линейном поиске, бинарный поиск использует стратегию "разделяй и властвуй".

1. Начало поиска: Вы начинаете с середины массива. Если элемент в середине — это искомый элемент, вы завершаете поиск.

2. Сравнение: Если искомый элемент меньше элемента в середине, вы знаете, что он должен находиться в левой половине массива. Если больше — в правой.

3. Сужение области поиска: Вы повторяете процесс для соответствующей половины массива, снова выбирая середину и сравнивая.

4. Повторение: Этот процесс продолжается, пока не будет найден искомый элемент или пока не останется элементов для проверки.

Пример

Предположим, у вас есть отсортированный массив: [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19], и вы хотите найти число 11.

• Шаг 1: Начинаем с середины массива. Средний элемент — 9. Поскольку 11 > 9, мы игнорируем левую половину.
• Шаг 2: Теперь рассматриваем правую половину: [11, 13, 15, 17, 19]. Средний элемент — 15. Поскольку 11 < 15, мы игнорируем правую половину.
• Шаг 3: Рассматриваем оставшуюся часть: [11, 13]. Средний элемент — 11. Это искомый элемент.

Почему O(log n)?

Каждый шаг бинарного поиска уменьшает количество рассматриваемых элементов вдвое. Это означает, что количество шагов, необходимых для поиска элемента, пропорционально количеству раз, которое вы можете разделить массив пополам, пока не останется один элемент. Это количество шагов — логарифм по основанию 2 от n, что и дает сложность O(log n).